Pitágoras foi um matemático,
filósofo, astrônomo, músico e místico grego, que nasceu na ilha de Samos ( na
atual Grécia ). É uma figura extremamente importante no desenvolvimento da
matemática, sendo frequentemente considerado como o primeiro matemático puro.
No entanto, pouco se sabe sobre as suas realizações matemáticas, pois não
deixou obra escrita e, além disso, a sociedade que ele fundou e dirigiu tinha
um carácter comunitário e secreto. Essa sociedade, a Escola Pitagórica, de
natureza científica e religiosa (e até mesmo política), desenvolvia estudos no
domínio da matemática, da filosofia e da astronomia. O símbolo desta irmandade
era a estrela de cinco pontas (ou estrela pentagonal), que consideraram como o
“emblema” da perfeição e do supremo saber.
A estrela de cinco pontas é
formada pela união de cinco triângulos sobre um pentágono.
Os pitagóricos faziam
experimentos e pesquisas em diversas áreas (matemática, geometria, astronomia, astrologia, música, biologia,
medicina
e política) e consideravam-se irmãos, viviam numa fraternidade
de comuna – todos os bens eram
colocados para a coletividade.
Os iniciados ficavam de dois a cinco anos
em absoluto silêncio aprendendo as disciplinas básicas, desenvolvendo a
reflexão, a memória, a disciplina e a retidão. Passados esse período
compreendiam que o silêncio é providencial para a evolução intelectual e
espiritual.
Além da ciência os pitagóricos
vivenciavam uma religião de salvação e mistério. Seus rituais eram absolutamente
secretos e sua devoção condição essencial para pertencer à seita.
A ética era conseqüência direta de sua
metafísica. E ambos eram pressupostos básicos para o
conhecimento do mundo, do homem e do UNO(propriedade de tudo o que é, do universo em conjunto). Ciência e Religião, no pitagorismo, não se apartam e sim se
completam. A vida nessa Confraria tinha
a finalidade de levar ao equilíbrio psico-físico-social e espiritual.
Pitágoras pregava a homonoia(
união das mentes para atingir uma vida íntegra e, assim, possibilitar reformas
sociais para uma menor desigualdade social e menor atrito entre os indivíduos).
Sua palavra de “ordem” era fraternidade – geral e irrestrita.
O TEOREMA
Pesquisas realizadas no campo da História da Matemática
indicam que mais de 2000 anos antes dos pitagóricos, na Babilônia, já se
detinha conhecimento de que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos.
A2 = B2 + C2
Os antigos
egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados, de modo a
determinar um ângulo reto ou uma a perpendicular, com a sobreposição do
primeiro e do décimo terceiro nós .
Ao avaliarmos o emprego
da corda de treze nós, fica claro que os egípcios também sabiam que um triângulo
de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90o. No entanto, acredita-se
que a primeira demonstração geral desta relação foi dada por Pitágoras por
volta do século VI a.C.
Outro aspecto a
ser destacado é que, ao considerar um triângulo retângulo de hipotenusa “a” e
catetos “b” e “c”, a relação a2 = b2 + c2
tem centenas de demonstrações
distintas. Desde a Antiguidade, várias pessoas se dedicaram a prová-la.
ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA
Não se sabe ao certo qual seria a
demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela teria
sido feita através da comparação de áreas, conforme se segue:
Desenhamos um quadrado de lado b+a e depois traçamos dois segmentos paralelos aos lados do quadrado, obtendo
dois retângulos e um quadrado.
Dividimos os dois retângulos em dois triângulos retos traçando uma diagonal
em cada um deles, ficando assim com quatro triângulos retos na figura. Chamamos
de c o comprimento de cada diagonal.
Ao retirar os quatro triângulos retos temos a área da região formada a
seguir:
b2+a2
Se desenharmos agora o mesmo quadrado de lado b+a, mas colocando os quatro triângulos retos
em outra posição, a área da região formada quando se retiram os quatro
triângulos retos é c2.
Como b+a representa a área do
quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos e c2 representa a mesma
área, então b2+a2=
c2. Logo, num triângulo retângulo o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Outra forma ainda de demonstrarmos o teorema é por semelhança de
triângulos.
Os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo
apenas pelas suas posições e tamanhos.
Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura.
Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H
sua intersecção com o lado AB.
O ponto H divide o
comprimento da hipotenusa, c,
nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante
ao triângulo ABC, pois ambos
têm um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os
triângulos também, marcado como θ
na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC.
A semelhança dos triângulos leva
à igualdade das razões dos lados correspondentes:
a/c=e/a e b/c=d/b
O primeiro resultado é igual ao cosseno
de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno. Estas relações podem
ser escritas como:
a2=c x e e b2=c
x d
Somando estas duas igualdades, obtém-se:
a2+b2=c x e + c x d=c x (d+e )=c2
Logo: a2+b2=c2
ALGUMAS APLICAÇÕES
1. Uma escada
apoiada em uma parede tem sua base distante cerca de 6 metros da parede.
Sabendo que a parede mede cerca de 8 metros, determine o comprimento da escada.
x² = 8² + 6²
x² = 64 + 36
x² = 100
x = 10
x² = 64 + 36
x² = 100
x = 10
2. Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?
Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:
D = 30x6 = 180 Km
Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:
D = 40 x 6 = 240 Km
Aplicando o Teorema de Pitágoras
d2=1802+2402
d2=32400+57600
d2=90000
d=300 km
3. De posse de um mapa, o motorista de um caminhão de
entrega de eletrodomésticos precisa saber qual a distância entre as cidades A e
B, pois dependendo da distância precisa abastecer o caminhão para não ter
surpresas desagradáveis na viagem, falta de combustível ou atraso na entrega.
d2=602+802
d2=3600+6400
d2=10000
d=100 km
Referências:
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